Міністерство освіти і науки молоді та спорту України
Черкаський державний технологічній університет
Кафедра радіотехніки
Звіт
з лабораторної роботи №2
з дисципліни
«Математичні методи обчислення»
Перевірив:
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 2
ВИЗНАЧЕННЯ КОРЕНІВ АЛГЕБРАЇЧНИХ
ТА ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ РІВНЯНЬ
Мета роботи: опанувати чисельні методи визначення коренів алгебраїчних та трансцендентних рівнянь – метод послідовного перебору для відокремлення коренів; методи половинного ділення, хорд, дотичних, комбінований та ітерацій для уточнення коренів.
Хід роботи:
варіант 8
1. Відокремити корені нелінійного рівняння методом послідовного перебору. Уточнити відокремлені корені з точністю методами:
половинного ділення,
хорд,
дотичних,
комбінованим,
простої ітерації.
→f(x)=x-0,5x-1=0
розрахунок за допомогою пакета MathСAD:
Виходячи з графіка функції , визначаємо приблизно інтервал [0; 2]. Далі обчислюють значення , починаючи з точки , рухаючись управо з кроком 0,5.
f(0)=-2, f(0,5)=-1.207, f(1)=-0,5
f(1,5)=0,146
Як бачимо пара сусідніх значень , яка має різні знаки, і функція монотонна на цьому відрізку, так відповідні значення аргументу x (попереднє й наступне) можна вважати кінцями відрізку, що містить корінь.
[1;1,5]
Для уточнення коренів на виділених відрізках використовуються методи половинного ділення, хорд, дотичних, комбінований, ітерацій.
Метод половинного ділення:
f(x)=x-0,5x-1=0
находимо середину інтервалу:
(1+1,5)/2=1,25 й це значення підставляємо в рівняння замість х
1,25-0,51,25=0,83<1
так як число 0,83<1 то рухається лівий кінець інтервалу
1,25<х<1,5
тепер підставляємо в рівняння число (1,25+1,5)/2=1,375 замість х
1,375-0,51,375=0,989<1
так як число 0,989<1 то рухається лівий кінець інтервалу
1,375<х<1,5
(1,375+1,5)/2=1,44
1,44-0,51,44=1,07>1 то рухається правий кінець інтервалу
1,375<х<1,44
(1,375+1,44)/2=1,40625
далі будемо мати такі інтервали:
1,375<х<1,40625
1,375<х<1,390625
1,3828125<х<1,390625
1,3828125<х<1,3867187
1,3828125<х<1,3847656
1,3828125<х<1,383789
1,3833007<х<1,383789
1,3833007<х<1,3833004
Оскільки процес завершений
Тому х=1,3833
2)Метод хорд:
f(x)=x-0,5x-1=0
використаємо інтервал [1;1,5]
для розрахунку візьмемо формулу:
де , ,
відповідно маємо новий інтервал [1;1,387]
відповідно інтервал [1,383;1,387]
Розрахунок закінчений оскільки за формулою: →1,383-1,383=0
010-6
3)Метод дотичних:
f(x)=x-0,5x-1=0
використаємо інтервал [1;1,5]
Розрахункова формула методу дотичних
(2.4)
де х0 = а, якщо ,
х0 = b, якщо .
, якщо х0 = а→
;
якщо х0 = b→
;
Звідси слідує, що х0 = а
оскільки <10-6 розрахунок закінчений
4)Комбінований метод:
f(x)=x-0,5x-1=0
використаємо інтервал [1;1,5]
З’ясувавши з попереднього завдання, що на [a; b] , тоді ,
беремо формулу:
початкове наближення .
розрахунок закінчений
5) Метод простої ітерації:
використаємо інтервал [1;1,5]
f(x)=x-0,5x-1=0
рівняння можна записати у вигляді:
x=0,5x+1
φ(x)=0,5x+1
φ΄(x)=0,5x*log0,5
підставивши маємо:
φ΄(а)=0,5*1*log0,5=1,232
Розрахунок проводимо за формулою:
Оскільки виконується умова ітераційний процес завершений
Висновок: при виконанні даної лабораторної роботи я опанував чисельні методи визначення коренів алгебраїчних та трансцендентних рівнянь – метод послідовного перебору для відокремлення коренів; методи половинного ділення, хорд, дотичних, комбінований та ітерацій для уточнення коренів. Свої знання застосував при вирішенні завдання. Остаточну відповідь перевірив за допомогою пакета MathСAD. Відповідь виявилась однакова, отже завдання виконано вірно.
